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    • 叶卡林娜

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    • 叶卡林娜

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叶卡林娜

[数独进阶技巧]BUG(全双值坟墓)的探讨

45 篇文章在这个主题里

关于BUG我有一点想说。

标准的BUG技巧最少得有11个空单元格,我昨天已经证明出来了。大家可以帮我看一下证明过程是否有错,欢迎指正。

首先,选择某一个单元内的任意3格为空(此处“空单元格”表示暂未填数的单元格,下同),并分别假设候选数为ab、bc、abc,那么显然地,构成BUG的话,b必然是那个破解BUG的正确的数字,而剩下的其余BUG的空单元格内都只能有2个候选数,要么ab,要么bc,要么ac。

例如,我选择某一个宫内的任意3格为空,并分别假设候选数为ab、ac、abc。要想证明它的最少空单元格情况,那么与abc所在单元格相邻的4个单元格中,必然存在2格是空单元格。根据BUG的定义,那么abc所在单元格必然行、列、宫内都会有3个单元格为空,因此,此时最少得出现5个空单元格。

此时,就变成了这样:

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

要想使得上图中C2的bc成立,那么还得给1宫填入一个空格与之构成数对,另外9宫也是。于是就变成了这样。

 

.  .  bc |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |ab .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

这样显然也是不行的。1宫的确是构成bc数对了,9宫也的确构成ab数对了,但是它还不能成立。构成数对必然会出现行、列、宫都是数对的情况,因为此时盘面最简(我们需要证明最少空格数,所以必然要当做最简形式来看)。因此,盘面上就发现了一个问题。

3宫是1宫bc和9宫ab可以共同对应到的位置。要使得最简,那么必然只能在3宫内找空单元格,并和两边的空单元格建立联系,这样,BUG就构成了。

可是我们观察一下,一个是bc,而另外一个则是ab,显然并不是同一组数,肯定是没办法直接建立联系的,所以必然会有一组数给它们“搭桥”,那就是候选数为ac的单元格。我们来看一下,如果是ac会是怎么样的情况。

 

.  .  bc |.  .  .  |.  ac .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  .  .  |ac .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |ab .  .

 

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

这必然会插入2个空单元格进去。因为3宫也得构成ac数对。

这样行吗?肯定不行。因为我们观察B行、C行、7列和8列,都只是ab和ac以及bc和ac的情况,那么显然,这是不构成数对的。要使得盘面最简,这当然只能是要么都是ab,组成数对;要么都是bc,组成数对。那么我们这里就会在2宫和6宫的位置再加入至少4个单元格以保持三链数状态,如下图所示。

 

.  .  bc |.  ab .  |.  ac .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  ab .  |ac .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |bc bc .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |ab .  .

 

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

这样一数,13个单元格。是不是说明13个单元格就是最少的空单元格数呢?当然不是。我们还可以简化结构。

假设3宫是ab或者bc的其中之一的数对呢?我们看看是怎么样的情况。

当我们假设空单元格是ab数对的时候,这个时候就和9宫的ab数对组合,这样就满足9宫含有的ab单元格在行列宫内都存在ab数对了。可是,1宫的bc怎么办,我们还是得在2宫补充进去2个空单元格组成ac数对进行“搭桥”的效果,构成三链数结构。因此变成这样。

 

.  .  bc |.  ac .  |.  ab .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  ac .  |ab .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |ab .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

这样刚好满足BUG阵的要求。所以11格为最少空单元格的情况。

当然,3宫也可以换作是bc数对,结构发生些许的变化。

 

.  .  bc |.  .  .  |.  bc .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

. bc  .  |.  .  .  |bc .  .

---------+---------+---------

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |ac ac .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. abc bc |.  .  .  |.  ab .

. ab  .  |.  .  .  |ab .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

这样也是成立的。

但是这个地方还存在一个问题,请自行下来思考一下,如果想不出来还可以继续向下看,下面的内容有提到这里的问题。

证毕。

 

小向

2016/7/26

此内容已被编辑, ,由 小向爱数独

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.  .  12 |12  .  . 


. 12  .  |12  .  . 


---------+--------


. 123 12 |.  13 .  


. 13  .  |.  13 . 


.......


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.  .  12 |12  .  . 

. 12  .  |12  .  . 

---------+--------

. 123 12 |.  13 .  

. 13  .  |.  13 . 

.......

 

我们试着思考一下,如果您的构型成立的话,那么请看下面这种情况,我搬到整个数独盘面内,以方便叙述其坐标。

 

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

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.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

.  .  12 |12 .  .  |.  .  .

. 12  .  |12 .  .  |.  .  .

---------+---------+---------

. 123 12 |.  13 .  |.  .  .

. 13  .  |.  13 .  |.  .  .

.  .  .  |.  .  .  |.  .  .

 

请看这样的结构。

如果是当BUG来看,那么必然三值格填1;

如果看局部:

  a.如果看G2,G5,H2,H5四格,必然构成UR,三值格必然填2;

  b.如果看E3,E4,F2,F4,G2,G3六格,必然构成UL,三值格必然填3。

请问最终填多少?

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另外,上述例子是存在着一点问题的,详见此链接,即可跳转到当前证明处。

http://www.sudokufans.org.cn/forums/topic/35/page-5#entry8824

什么问题呢?它还不是标准的BUG构型(BUG+1)。

它的确满足了之前说到的BUG+1构型的以下定义:

  第1点:空单元格内有且仅有1个位置是3个候选数,而其余空单元格都只有2个候选数。

  第2点:唯一的“三值格”中的最终正确的数字必然在其行、列、宫内都存在3个。

但是,BUG+1构型还需要注意一点,它最终会导致盘面无解。而上面证明得到的例子中,是双解的。

我们说,对于唯一解的标准数独题来说,当构型最终导致技巧涉及的部分多解时,它被称为UR系(唯一矩形系,包括所有UR的标准类型及变异、UL、AR、ExR、HUR等);而当构型最终导致技巧涉及的部分无解时,它才能被称为BUG系(全双值致死解法系,包括BUG的标准类型及变异、BUG+n等)。

由于上方最终得到的结果并不是BUG+1构型,因此我们还需要重新证明,步骤也是一样。

下面就不再叙述,步骤简图如下:

 

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  13 .  |123 12 .

 .  .  .  | .  .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

          ↓

 .  .  .  | .  .  .  | .  12 .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  12 .  |123 12 .

 .  .  .  | 12 .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

          ↓

构型I

 23 .  .  | 13 .  .  | .  12 .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 23 .  .  | .  13 .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  13 .  |123 12 .

 .  .  .  | 13 .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 

这样就可以了,并仍然构成了11格的BUG+1构型。当然,与之异构的另外一种盘面如下:

构型II

 .  .  .  | 12 .  .  | .  12 .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  12 .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  13 .  |123 12 .

 .  .  .  | 13 .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | 23 23 .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

这也是可行的。

 

但是,我们还可以得到一个结论。任意11格BUG+1总能被长度为7的Remote Pair(直译名为远程数对,并且长度包含数对内部的强关系)技巧直接破解。例如上面的随意构成的两个BUG+1构型。

构型I

 23 .  .  | 13 .  .  | .  12 .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 23 .  .  | .  13 .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  13 .  |123 12 .

 .  .  .  | 13 .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

远程数对结构:C5(1=3)-D5(3=1)-E4(1=3)-E7(3=1),删C8(1)。

 

构型II

 .  .  .  | 12 .  .  | .  12 .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  12 .  |12  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | .  13 .  |123 12 .

 .  .  .  | 13 .  .  |13  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

----------+----------+---------

 .  .  .  | 23 23 .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

 .  .  .  | .  .  .  | .  .  .

远程数对结构:C5(1=2)-C7(2=1)-A8(1=2)-D8(2=1),删D5(1)。

显然,删数单元格并不在BUG三值格点,所以必然会破坏BUG+1构型。

证毕。

 

小向

2016/7/27

更正于2016/7/30

此内容已被编辑, ,由 小向爱数独

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后面的好多例题,通过自己独立完成例题的填写,加深了对技巧的了解,这个办法很好。

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