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    • 叶卡林娜

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叶卡林娜

解法展示
Retro Killer Sudoku无框杀手数独

3 篇文章在这个主题里


     
  • 变型名称:Retro Killer Sudoku无框杀手数独(中文名为自译)
  • 变型规则:Fill cages in the grid so that each cell is part of exactly one cage. Additional fill digits in the grid so that every row, every column, and every 3 x 3 box contains the digits 1 through 9. In every cage is exactly one number and this is the sum of the digits in this cage. All cages are rectangles or squares of at least two cells. In cages no number is repeated.
    变化过的killer数独,大部分的虚线框未标出,但是,每个虚线框都是长方形或者正方形的,至少有两个格子组成,且每个框内的数字是无重复的。提示数不一定要在左上角。
  • 范例出处:作者Uwe Wiedemann
  • 范例图片:
    retro_killer2.gif

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下面来看一题的解题思路,由Verycd的网友哈里森所写。

retro_killer1.gif

 

===================================================

除了数独基本条件外,先明确几个条件:

  框内条件:每一个数都必须落在有和数标识的虚线框内;

  方形条件:每一个虚线框都是长方形或者正方形的;

  多格条件:每一个虚线框至少有两个格子组成;

  异数条件:每一个虚线框内的数字是无重复的;

  单和条件:每一个虚线框内只能有一个表示总和的数字。

 

45规则:1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,即每一行、每一列、每一宫的和都是45。

 

为了便于说明,先给行列编号:

P1215602170.jpg

 

大字体表示确定的数字;

小字体表示待定的数字。

 

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  • 先从(a8)入手,由于20至少需要三个数字组成,根据“方形条件”和“单和条件”,可以确定(a8)、(a9)、(b8)、(b9)组成一个虚线框;
  • 根据“方形条件”和“多格条件”,可以确定(c8)、(c9)组成一个虚线框;
  • 根据“多格条件”和“单和条件”,可以确定(d9)、(e9)组成一个虚线框;
  • 根据“多格条件”、“方形条件”和“单和条件”,可以确定(f9)、(g9)组成一个虚线框;
  • (h9)的23至少需要三个数字组成,根据“方形条件”和“单和条件”,可以确定(h8)、(h9)、(i8)、(i9)组成一个虚线框;
  • 根据“45规则”,确定(d7)=1。

P1215602207.jpg

 

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  • (f9)最大可能值为7,假设(f9)=7,则(d9)+(e9)+(f9)+(d8)+(e8)+(f8)+(d7)=28,根据45规则,(e7)+(f7)=17,即(e7)、(f7)必由8、9组成,这是极限值,不可能更大,因此(f9)的取值不可能更小,所以确定(f9)=7、(g9)=1;
  • 由于(e7)+(f7)=17,与(e7)标出的和数14不符,根据“多格条件”、“方形条件”和“单和条件”,确定(e7)、(e6)组成一个虚线框;
  • 假设(f6)与(g6)组成虚线框,根据“多格条件”、“方形条件”,(f7)或(g8)中必有一个不符合“框内条件”,因此根据“多格条件”和“单和条件”,确定(f6)、(f7)组成一个虚线框;
  • (a7)+(b7)+(c7)+(d7)+(e7)+(f7)=33,根据“45规则”,(g9)+(h9)+(i9)=12,再根据“45规则”,(g8)=45-[(g7)+(h7)+(i7)]-[(h8)+(h9)+(i8)+(i9)]-(g9)=45-12-23-1=9。

P1215602250.jpg

 

 

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  • (a4)的17至少由两个数组成,所以这个17表示的虚线框肯定包含(a4)、(a5),(b5)的17也至少由两个数组成,根据“单和条件”,(b5)、(c5)或者(b5)、(c5)、(d5)组成一个虚线框,根据“45规则”,确定(b5)、(c5)、(d5)组成一个虚线框;
  • 假设(c3)、(d3)组成一个虚线框,则(d4)无法满足“框内条件”;假设(c3)、(c2)、(c1)组成一个虚线框,则左上角这一宫违反“45规则”;因此确定(c3)、(c2)组成一个虚线框;
  • 根据“框内条件”和“方形条件”,确定(a1)、(a2)、(b1)、(b2)组成一个虚线框,且必由1、2、3、4组成;
  • 根据“45规则”,确定(c1)=9;
  • 根据以上两条,确定(a3)、(b3)必由5、6组成,(c2)、(c3)必由7、8组成;
  • 根据上一条,确定(c8)、(c9)必由4、6组成;
  • 由于(d7)=1并且(d9)+(e9)=7,所以(d9)、(e9)只能是2、5或者3、4这样的组合,因此(d8)、(e8)、(f8)中必有6;反观上一条,(c8)不能是6,所以(c9)=6、(c8)=4;
  • 因为(c8)=4,所以(d9)、(e9)只能是3、4组合。

P1215602279.jpg

 

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  • 由于c列的6、8、9已定位,可以确定(b4)=9、(c4)=5;
  • 由于(b4)=9,所以(a4)的17所表示的虚线框不能是8+9,至少需3个数组成,根据“方形条件”,确定(a4)、(a5)、(a6)组成一个虚线框;
  • 根据“框内条件”,确定(b6)、(c6)、(d6)组成一个虚线框;
  • 根据第7行、第8行和b列的9,确定(a9)=9;
  • 根据第7行、第9行的1,确定(a8)、(b8)中有一个是1,而(a8)+(b8)+(b9)=20-9=11,所以这3个数是1、2、8或1、3、7;由于第9行的3、7已定位,所以只剩下1、2、8一种组合方式;由于第8行的2已定位,所以(b9)=2且(a8)、(b8)由1、8组成;
  • 根据上一条,确定(h8)、(i8)由3、7组成,(h9)、(i9)由5、8组成;
  • 根据已知条件判定(c7)=3,(a7)、(b7)由5、7组成。

P1215602354.jpg

 

===================================================

  • 根据“框内条件”和“方形条件”,(g8)的9必须向上在g列内组成虚线框;假如(g8)、(g7)组成虚线框,则(g7)=14-9=5,与已知条件矛盾,所以(g8)、(g7)、(g6)组成一个虚线框;
  • 由于g列已有1,第7行已有3,所以(g7)=2、(g6)=3;
  • 假如(f7)=8,则(f6)=3,与(g6)的3矛盾,所以(f7)=9、(f6)=2;
  • 根据上一条,确定(e7)=8、(e6)=6;
  • 根据已知条件,(h7)、(i7)有4、6组成,(h7)+(i7)=10,与(h7)标识的和数不符,所以根据“多格条件”和“单和条件”,(h7)必须和(h6)组成一个虚线框;假设(h7)=6,则(h6)=3,与(g6)的3矛盾,所以(h7)=4、(h6)=5、(i7)=6;
  • 根据上一条,确定(h9)=8、(i9)=5;
  • 根据已知条件判定(c5)=2,(c6)=1;
  • 根据已知条件排除(e8)的6和(f8)的2。

P1215602423.jpg

 

===================================================

  • 根据第6行的已知数和(b4)的9,确定(d6)=9、(b6)=4;
  • 根据(b6)=4和(b9)=2,确定(a1)、(a2)由2、4组成且(b1)、(b2)由1、3组成;
  • 根据上一条,确定(a8)=1、(b8)=8;
  • 根据(b4)=9、(d6)=9,确定(b5)、(d5)由7、8组成;由于(b8)=8,所以(d5)=8、(b5)=7;
  • 根据上一条,确定(a7)=7、(b7)=5;
  • 根据上一条,确定(a3)=5、(b3)=6;
  • 根据(b5)=7,确定(i6)=7、(a6)=8且(a4)、(a5)由3、6组成;
  • 根据“多格条件”,(i7)的6必须沿i列向上组成一个虚线框,由于经过(i6)所标识的虚线框和数为14,所以该虚线框只能由(i7)、(i6)、(i5)组成且(i5)=1。

P1215602456.jpg

 

===================================================

  • 根据“45规则”,确定(i4)=4;
  • 根据已知条件,确定(e5)、(f5)必由4、5组成;
  • 根据上一条,确定(d4)、(e4)、(f4)必由1、3、7组成,并根据d列已有的1和f列已有的7修正;
  • 根据上一条,确定(a5)=3、(a4)=6;
  • 根据(i6)=7,确定(h8)=7、(i8)=3;
  • 根据已知条件,确定(h5)=9、(g5)=6、(g4)=8、(h4)=2;
  • 根据“框内条件”和“方形条件”,(i4)的4必须沿i列向上组成和为15的虚线框,根据i列已知数,只能是(i4)、(i3)、(i2)组成虚线框茄(i3)、(i2)由2、9组成;于是(i1)=8。

P1215602488.jpg

 

===================================================

  • 假设(h3)所属的虚线框包含了(f3),根据“方形条件”它就不能包含(f4);那么根据“方形条件”,(f4)就无法符合“框内条件”;由于(h3)所标识的和数18至少需要三个数相加,根据“方形条件”和“单和条件”,确定(g2)、(g3)、(h2)、(h3)组成一个虚线框;
  • 根据“框内条件”和“45规则”,确定(g1)、(h1)、(i1)组成一个虚线框;
  • 根据“框内条件”和“方形条件”,(c1)的9必须沿第1行向右组成一个虚线框;根据已知条件只有两种可能:虚线框由(c1)=9、(d1)=3、(e1)=1组成,或者,由(c1)=9、(d1)=4组成;假设第一种可能成立,则可以根据已知条件推算出中间一宫的1和3都必须位于(f4),这是不成立的;所以假设错误;确定(c1)=9、(d1)=4组成一个虚线框;
  • 根据上一条,确定(a2)=4、(a1)=2、(e9)=4、(d9)=3;
  • 根据上一条,确定(d4)=7。

P1215602519.jpg

 

===================================================

  • 根据(e9)=4,确定(f5)=4、(e5)=5;
  • 根据上一条,确定(e8)=2;
  • 根据已知条件,确定(g3)=4;
  • (g1)+(h1)=16-8=8,因为(a1)=2,所以(g1)、(h1)只能是1、7或3、5两种组合,根据g、h列的已知数,(g1)只可能是5、7,(h1)只可能是1、3;
  • 根据上一条,第1行的6只能出现在(e1)、(f1)中;因为(e6)=6,所以(f1)=6。

P1215602545.jpg

 

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  • 根据(b1)、(h1)完全由1、3组成,所以第1行其他位置不能再是1、3,因此(e1)只可能是5、7;因为(e5)=5,所以(e1)=7;
  • 根据上一条,确定(g1)=5、(h1)=3;
  • 根据上一条,确定(b2)=3、(b1)=1;
  • 根据g列已知数,确定(g2)=7;
  • 根据上一条,确定(c3)=7、(c2)=8;
  • 根据已知的8,确定(f3)=8;
  • 根据已知条件,确定(h3)=1、(h3)=6;
  • 根据已知条件,确定(f8)=5、(d8)=6;
  • 根据已知条件,确定(e4)=1、(f4)=3、(f2)=1;
  • 根据已知条件,确定(e2)=9、(e3)=3;
  • 根据上一条,确定(i2)=2、(i3)=9。
  • 根据上一条,确定(d2)=5、(d3)=2。

P1215602616.jpg

 

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  • 至此,所有数字都已确定;
  • 根据数字标出最后的虚线框即可。

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下面这道题是@jcvb出的题目,由果壳网网友Grayfox写的解题过程。

1.jpg

 

2.jpg

从G8的40开始推,40最少得用7个数字(9+8+7+6+5+4=39)最多只能用8个(9个加起来必然45)所以这个框只能是1*7,1*8.2*4三种,I1的33至少用5个数字,由于地形限制,只能是竖直向上的方框,数量≥5,而G2的4最多只用2个数字,所以I3的10至少是I2+I3组成。I6的13最多只能由4个数组成,F6的7最多只能由3个数组成。

首先测试1*8,横向放置没有足够的空间,pass。竖向放置,如用A8~H8,则I8=5,所以13=1+3+4+5,旁边的5只能是上下两格加成,所以5=3+2最下面一行的是2,最下一行就只剩下6.7.8.9,则I3的10无法组成,pass。如用B8~I8,则F9~I9得用F9的7来填满,不可能,pass。

测试2*4,如下图放框:

3.jpg

则13在9宫中的部分肯定有个5,所以I6的13=1+3+4+5,旁边的5只能是上下两格加成,所以5=3+2最下面一行的是2,最下一行就只剩下6.7.8.9,则I3的10无法组成,pass。

如下图放框:

4.jpg

7=1+2+4,则I7~I9中肯定有一个5,所以I6的13=1+3+4+5,旁边的5只能是上下两格加成,所以5=3+2最下面一行的是2,最下一行就只剩下6.7.8.9,则I3的10无法组成,pass。

如下图放框:

5.jpg

同上种方法pass。所以G8(怎么这么邪恶)的40只能是1*7的格子,横向放置则H6~H9+I6~I9需要13来填充,不可能,pass。所以G8的40只能是竖向1*7的格子。如使用A8~G8,9宫中其他位置无法填充(你们懂得,原因写出来太费劲),而要是使用C8~I8,则F9~I9无法由7来填充,所以G8的40是能是B8~H8这7个格子组成,于是相关的格子的标记也就如下,同时部分数据可以得出,如:

6.jpg

A6,A7为9,8。A2的12和A5的7只能是在A行里的数字组成的(这个很容易就能证明出来,这里就不多写了)由此可得A9=5,A2的12=2+3+7,A5的7=6+1,所以A4=6,A5=1

F5的11由3或4个数字组成,如果为4个,11=1+2+3+5,但I5=5,A5=1,所以11为3个数字组成,11=2+3+6,有其他数字可推出F5=2,G5=3,H5=6。F3的23是竖直向上的框≥3个,所以E4的12也为竖直向上的3或4个数字组成,4个数字为12=1+2+3+6或1+2+4+5,因为F5=2,所以5宫中不能再有2,所以12只能为3个数字组成,∴E4的12=3+4+5,,∴G4=4,∴G9=2,H9=4。

7.jpg

由上张图可以看出,G6&H6为7.8,A6&A7为9.8,∴A6=9,A7=8。∴B6&C6为3.5,∴F6≠5,所以F6的20由4个数组成,E6+F6=5,根据周围的数字可以算出E6=1,F6=4.D6=6∴D6只能和D7组合成D7的10,∴D7=4∴C6中的15得由B6,B7,C6,C7 4个数字组成,则B7&C7为1.6。∴E7的23=2+5+7+9(就剩这4个了)∴E7=2,F7=7,∴G8=6,H8=8,∴G6=8,H6=7。D5中的24只能是竖直的几个数组成了,所以C5&D5&E5=7.8.9,B5=4,∴B1的29为B1~B5组成,剩下的位置划分就比较容易了,结果如下:

8.jpg

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