[数独高级技巧] 鱼

宫内三链列也是可以有外鳍的，但是此时的观察就不容易了。现在我们来看一则例子。

定义域为行A、行E和宫7，而删除域则应该是列2、列3和列5。但是在A1出现了一个外鳍。那么我们分类讨论。如果外鳍成立，那么删除的则应该是A1所在的行A、列1、宫1；而外鳍不成立的话，那么就是一个宫内三链列，删删除域的所有3。两种情况都有可能，所以就只能删除共同对应的部分，因此就只剩下B2、B3、C2、C3这4格。而由于B2、B3已经填了数字的关系，因此，C2, C3<>3。
我们再来看一个变形更为厉害的例子。

这是一个定义域为行G、宫2和宫5的宫内三链列。非常奇怪的是它的定义域竟然包含两个宫。这其实也是被允许的，因为它也是可以删数字的。
在D5存在一个外鳍，当外鳍成立的时候，就只能删除掉D5所在的行D、列5和宫5。但是当外鳍不存在的时候，此时就是一个宫内三链列，因此按照鱼的删除域推导办法，我们能够得到它的删除域为列2、列4和列9。两者的共同对应部分只有单元格D9，因此，D9<>8。

下面还有2个例子，请自行推理与论证。图上已经给出定义域和删除域。

宫内四链列也是可以有外鳍的，但是由于四链列的变形过多，所以观察起来就更不容易了，但是形状也是非常美丽而又奇妙的。

定义域为行C、行E、行I和宫1，删除域为列1、列4、列7和列9。由于外鳍的存在，因此只能删除外鳍能对应的位置，即A4, A7, A9<>1。

我们在最早说外鳍鱼的时候，就说过一个东西，外鳍被简称为鳍，因为外鳍不是全部的情况，这里就有一个新的概念，它被称为内鳍（Endo Fin）。它是如何形成的呢？我们来看一下。

这个三链列的定义域是行F、行G和行I。按道理说，我们是利用行F变换到宫4里面去，而现在我们现在不去管行F。而看行G。行G如果变到宫里面去，则应该为宫7。因此，就变成了下面这样。

我们尝试观察一下，这个更加奇怪的鱼的定义域现在应该是行F、行I和宫7。而此时我们观察到，行I和宫7有两个位置是重叠在一起了的，它们是I2和I3。重叠在一起了就得算两次，不然结构就会少2个填数情况，我们类比之前的不重叠的宫内三链列。以前的宫内三链列一共有12种填数情况，而现在由于重叠了之后，少了2种情况，而它们只被计算了1次，所以现在就只有10种情况了。
我们标注用“@”符号来代替重叠的部分，于是就变成了下面这样。

这两个被标注了“@”符号而不是“x”符号的被称为内鳍。内鳍我们要算两次，一次作为鱼身，也就是x，一次是鱼鳍，不过这鱼鳍奇怪的是它长在鱼的内部了，因此也就叫内鳍了。
我们说，内鳍也是一种鳍，虽然它是重叠起来了的，是鱼身的一部分，但是由于这种结构的特殊性，内鳍是算成两次的，所以，删数的话还是得看内鳍和删除域的共同对应的部分。
但是我们来看盘面，由于有2个内鳍，还要删这2个内鳍和删除域共同对应的部分，其实是完全没有共同对应的部分的，因此，这种结构只能说是理论上的存在，而并不能起到删数的效果。所以只能残缺。
那么，残缺情况是怎么样的呢？如下面给出的情况所示。

这样的结构就是可行的。了解到了这一点了之后，我们来看看例子。

内鳍在上一节里面讲过了形成情况，现在我们来看一些内鳍宫内三链列的例子。

这个关于3的宫内三链列的定义域为行F、行I和宫7。而行I和宫7存在重叠部分，且重叠部分刚好有1个位置（单元格I3）有候选数3。那么它就是内鳍。
我们进行分类讨论。
 当I3这个内鳍成立的时候，删掉I3的所有共轭单元格；
 当I3这个内鳍不成立的时候，由于我们说内鳍算两次，一次鱼身一次鳍，因此它其实仍然算鱼身的一部分。因此并没有直接不存在，所以没有内鳍的时候，它就是一个标准的宫内三链列。可以删除删除域内的所有候选数3，此时的删除域应该是列2、列3和列5。
仅存在这2种情况，那么至少有一种情况要成立，所以要删除这两种情况共同对应的位置，即列3的所有候选数3。
对比这一盘面和上一盘面的宫内三链列的形状，其实是类似的，只是有一些许的不一致而已。

下面再来介绍一个内鳍宫内四链列的例子。

如图所示，这个宫内四链列的定义域为行D、行F、行G和宫8。而宫8和行G有重叠部分，且刚好只有1个。因此，我们进行分类讨论。
如果内鳍G4(5)为真，那么能删掉G4的20个共轭单元格；
如果内鳍为假，那么就是一个标准的残缺内鳍宫内四链列。那么删除域就应该是列4、列6、列8和宫4。
而这两种情况必有一个要成立，因此删掉这两种情况都能对应到的部分，也就是列4。所以列4内的候选数5可以被删除。

至此，宫内鱼的内容就全部结束了。但是，鱼远远不止这一点。还有一个变异鱼也是非常的神奇。

之前我们讲到了宫内鱼，现在又有一种新型形状变异鱼。
我们之前说到宫内鱼的定义。但是，宫内鱼里面不含有一种情况，就是“行 + 列”的情况。这种情况是存在的吗？当然，如下面这个结构就是个例外。

这是一个定义域为行A、行I和宫6的宫内鱼。很明显，我们能够利用宫内鱼的推理得到它的删除域，即列2、列8和列9。
我们发现，按照宫内鱼的逻辑，是一个一个的假设得到的结论。我们现在把它看成一个整体。
很明显，这6个位置看成整体之后，和旁边的D7、E7、F7这3个位置是相反的填数关系。但是我们发现，刚好能找到列7的B7、C7、G7和H7这4个位置也可以和D7、E7、F7这3个位置构成相反的填数关系。于是，形状就变成了这样。

于是我们就简单地变成了这样。此时我们发现，这个时候，宫6的6个x全部转化到列7的4个x了。此时，定义域就发生了变化。此时，定义域变成了行A、行I和列7，而删除域则变成了列2、宫3和宫9。
但是，这样的话，就很奇怪了。定义域变成了行和列。这并不复合宫内鱼的定义。因为这里定义域内出现了行和列同时存在的情况。那么，这种不属于宫内鱼的新型鱼叫做交叉鱼（Mutant Fish）。
那么交叉鱼的定义是如何的呢？交叉鱼的定义是：当定义域或删除域同时含有行和列的时候，此时的鱼就是交叉鱼。但是需要注意的是，行、列、宫全部存在也算同时含有行和列。
所以，很容易理解的是，交叉鱼的定义域必须同时含有行和列，才不属于宫内鱼的定义。我们要注意一点，交叉鱼的定义其实是宫内鱼的互补情况。但是请记住，交叉鱼的一个口诀，即“行列必交叉，交叉必删宫”。意思就是，定义域同时含有行和列的时候，就是交叉鱼了，这前半部分就是交叉鱼的定义了；而后半部分则意味着，行列交叉的位置，如盘面 272的A7和I7这2格，这2格所在的宫也是删除域的一部分。也就是说，A7在宫3内，而I7在宫9内，所以宫3和宫9也是删除域的一部分。这个口诀将非常有用。

接下来，我们再来看看四链列的情况。

这是之前的盘面，很明显，这个是一个定义域为行D、行F、行I和宫3的宫内四链列。

现在我们变化一下，我们发现，存在于宫内的定义域只有宫3，而我们发现A9、B9、C9这3个位置和另外6格的填数是相对相反的填数关系。我们把宫内的填入情况转换到列9中去。于是就变成了这样：

这个是现在的，我们发现，现在的定义域变成了行D、行F、行H和列9。这也是不满足宫内鱼的定义的，所以也算作交叉鱼。
而它们都能残缺吗？当然。很多时候我们都不能找到这种完美的鱼，而一般都是残缺的。那么残缺需要满足什么样的条件呢？请自行思考。
接下来的一节我将讲解一些例子。

这是一个定义域为行B、行F和列6的鱼。根据我们的口诀，我们发现，定义域的确同时含有行和列，因此是交叉鱼。而交叉必然删掉宫，所以说，我们观察这个鱼的交叉点，即B6和F6。由于这2格分属宫2和宫5，所以宫2和宫5也是删除域的一部分。而我们说这个是可以用宫内鱼转换得到的，所以说，原来的宫内鱼其实还可以删掉列3，于是删除域就改变成为了列3、宫2和宫5。这也就是现在的交叉鱼的删除域了。
很明显，它也是残缺的，而刚好我们发现，这只交叉鱼的定义域和删除域的每一个部分均刚好只包含2个候选数5，这也是残缺的最少情况。

这是一个简单的交叉四链列，定义域为行B、行C、行H和列7，而删除域为列2、列5、宫3和宫9。

这也是一个简单的交叉四链列，定义域为行A、行E、行I和列1，而删除域是列5、列8、宫4和宫7。

外鳍交叉鱼也就是也就是交叉鱼加入了外鳍的形式。但是，需要注意的一点是，外鳍的位置也只能存在于定义域中。

很明显这是一个交叉三链列，定义域为行C、行I和列7 。我们也能很快速地用推导的方式得到它。那么很明显，我们可以直接得到的是删除域，即为列3、宫3和宫9。
但是很快我们发现，图中有一个多出来的E7(4)，它的位置刚好也在定义域内，但是它却在原本恢复原来宫内三链列的宫内“外部”区域。也就是说，恢复成原本宫内三链列的时候，列7就变化到宫6内的D8、D9、E8、F9这4格。但是，D7、E7、F7这3格原本也是不存在候选数4的，可是，现在出现了这个4，原来的宫内三链列只能被当做外鳍，那么现在的交叉三链列也只能当成是外鳍。于是此时就只能删掉外鳍能够对应到的部分，亦即E3(4)。
当然，也有交叉四链列，由于出现频率极低，此处仅给出一例，但不予推理，请自行观察其逻辑。

我们思考一个问题，交叉鱼是否也有内鳍呢？答案显然是存在的。

图中有一个内鳍，是G8(5)。乍一看有点像宫内鱼，但是由于删除域既有行又有列，所以是交叉鱼。

是不是交叉鱼也只能是行列交叉呢？当然不止，也能行列宫交叉，不过此处将不再举例。

在形状变异的鱼中，有一个现象很奇特，鱼身的某个位置会被自己的这种结构删掉。我们来看看它是怎么形成的。

这是一个宫内鱼，定义域都是行，而删除域中有列也有宫。此时我们发现，删除域发生了重叠，即列1和宫4。原来的例子中，定义域和删除域都是没有重叠现象的，而且我们前面只见过定义域重叠。那么删除域重叠会出现什么样子的效果呢？
当删除域重叠的时候，重叠部分如果含有鱼身的一部分，那么也应该被删除，也就是说，如上图所示，删除域重叠部分有D1、E1、F1这3格（图中用 *x 标注），而这3格内，E1和F1则是鱼身的一部分，因此，它们其实也可以被删除。此处不予证明，您可以利用环的性质进行证明。
我们称，鱼身自我删除的情况也是一种鳍，它被称为自噬鳍（Cannibalistic Fin），则这种现象，我们称为自噬现象，简称自噬。

在讲解了自噬鳍的形成之后，我们来看看例子。

这是一只交叉鱼，因为定义域同时有行有列。但是删除域的行列交叉处，也同样存在鱼身的一部分。那么根据鱼的逻辑，这一部分也是可以被删除的。这只鱼里面只存在一处自噬。

至此，鱼的所有内容就全部结束了。其实，鱼还有很多话题，比如鱼的不饱和性的探讨（即删除域数量大于定义域数量的鱼的使用），以及这些鱼的使用条件和范围，它们的删数原理，这里只为大家引导一个学习方向，欢迎大家的讨论学习。

最近刚开始自学数独，感觉很有趣味性。我翻过很多网上大家的发教程，您的内容普遍帮助很大，十分感谢。