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叶卡林娜

[数独高级技巧入门]链的逻辑及AIC

66 篇文章在这个主题里

这个帖子主要想阐述链是什么,怎么使用链,以及链的逻辑过程,帮助大家首先了解原理,那么以后关于chain、wing之类的按照这个思路都非常容易理解。

首先我想说明下什么是“强”关系,什么是“弱”关系?

强关系是说A与B两个事件,假如A不成立,则B一定成立。

弱关系是说A与B两个事件,假如A成立,则B一定不成立。

举一个简单的例子帮助大家体会:

1.PNG

(图中被划短横线的格表示不含候选数1)

这是一个数独的宫,根据数独规则一个宫内出现数字1-9各一次,可以做出以下两点推断:

1.左上格不是1,则右中格一定是1;

2.左上格是1,则右中格一定不是1。

第一种推断得到这两格的1是强关系,所以可以说两格之间形成一条强链,强链我们通常以双横线表示(==);

第二种推断得到这两格的1是弱关系,所以可以说两格之间形成一条弱链,弱链我们通常以单横线表示(——)。

 

再举一个例子:

2.PNG

(图中被划短横线的格表示不含候选数1)

上图可以做出三大点推断:

1.左上格是1,则中上格及右中格一定不是1;

2.中上格是1,则左上格及右中格一定不是1;

3.右中格是1,则左上格及中上格一定不是1。

这个例子里,存在着3条弱链,分别是(左上--中上)、(左上--右中)、(中上--右中)。

 

叶卡林娜

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上面说的是同一数字的强弱关系,当然强弱关系可以不局限于一个数字,下面用例子来说明:
1.PNG
(图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况)
根据左上格的候选数仅有1与2可以做出以下推断:
1.如果该格不能是1,则一定为2;
2.如果该格是1,则一定不是2。
推断一说明数字1与2之间是强关系,形成强链;推断二说明其为弱关系,形成弱链。

2.PNG
(图中被短横线划掉的格说明未知其候选数情况)
左上格有3个候选数,我们可以做出以下推断:
1.如果这格为1,则不能为2或3;
2.如果这格为2,则不能为1或3;
3.如果这格为3,则不能为1或2。
数字1与2、2与3、1与3之间分别为一条弱链。

像第二张图这样的关系推断,大家可能会不以为意,但是这是理解强弱关系的一个很好的例子,对于后面将要叙述的内容也会有所帮助。


叶卡林娜

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相信通过上面的说明大家已经了解了强弱链是什么,接下来我们将强弱链连接起来。

第一种情况:A==B--C==D

由A的真假情况可以做出以下BCD关系的枚举。

再次请大家注意本文开头所提到的强弱关系本质

1.强关系是说A与B两个事件,假如A不成立,则B一定成立。

2.弱关系是说A与B两个事件,假如A成立,则B一定不成立。

1.PNG

(图中红色部分表示根据上一个的真假情况必然是这样的推导)

可见A与D不全为假,即A与D一定有一个为真。

当A与D有等位群格位的交集时,即可做出相应删减。

 

叶卡林娜

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1.PNG

(图示技巧名为Skyscraper)

根据强弱关系,我们找到了一条符合A==B--C==D的强弱链组:r3c1(2)==r3c7(2)--r9c7(2)==r9c2(2)。

根据上文提到的逻辑关系,可以得到r3c1=2与r9c2=2至少有一个成立,所以可以删去它们等位群格位的交集(即橙色区域)的候选数2。

 

补充说明:
发现很多人对于第七列的画法存在疑问,为什么不标双线(强链),因为这里运用的是“是A非B”的弱关系,所以只能是标单线(弱链)的,关于“强强强”的链接我们在
提到是无法得到任何结论的。我们可以从强弱关系的逻辑把上述这条链走一遍,共有以下两种情形:

1)r3c1=2;

2)r3c1<>2 -> r3c7=2(强关系,非A是B) -> r9c7<>2(弱关系,是A非B) -> r9c2(强关系,非A是B)。

也就是r3c1和r9c2至少有一个是2(强关系,非A即B),如果r3c7和r9c7之间用强关系的逻辑(非A即B)看的话,从r3c7=2是无法得到r9c7<>2的,这条推理也就到此为止,无法进行下去。

若换一种观点,仍然看2,有r1c2==r9c2--r9c7==r3c7,此时就需要使用r9c7和r3c7的强关系了。所以强弱关系是按照需要来使用的,将逻辑连贯起来;另一方面,很多人会认为强关系包括了弱关系,因为“非A即B”的逻辑是不包括“是A非B”的逻辑的,所以这当然是错误的观点,强弱关系是两种不同的逻辑,且是相互独立的。

 

叶卡林娜

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  • 根据叶卡林娜前面对于强链的叙述,以下是一个双强链的实例,也是大家耳熟能详的 X-Wing。

    post-3-1275126679.png
    1. 上左图,数字 4 在 C4,C8 形成 X-Wing。

    2. 上右图,R2,R4 除了形成 X-Wing 的四格之外,其它格位不能存在数字 4,因此画 X 处就是可以删减候选数 4 的格位。

TTHsieh

 

● X-Wing用之前提到的强弱强链观察可以找到2组,以上图为例:

 r2c4==r4c4--r4c8==r2c8,得到r2c4与r2c8的4至少有一个成立,所以可以删除R2其他格的候选数4;

 r4c4==r2c4--r2c8==r4c8,得到r4c4与r4c8的4至少有一个成立,所以可以删除R4其他格的候选数4。

叶卡林娜

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  • 有时运用不同的强弱强链,能达到相同的删减效果,下面就是一个例子:
    1.PNG 2.PNG
     
  • 左侧使用的是r5c1==r5c9--r3c9==r1c7的强弱强链;
  • 右侧使用的是r3c2==r3c9--r5c9==r5c1的强弱强链。
  • 两种观察方法均可以删除r1c1的候选数1。

 

叶卡林娜

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  • 上面的几个例子都是关于单一数的强弱强链的,在数独的解题技巧里我们将这类成为X-Chain。
  • 关于单一数链应用我们放在 双强链解法的运用 这个主题中继续讨论。
  • 当把链的条数增加的时候,也就是A==B--C==D--E==F时,也能够推导出A与F至少有一个为真,这边就不做枚举了,大家可以自行推导下。
  • 下面来看一些牵扯到异数的强弱强链的例子。

 

叶卡林娜

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  • 要说异数强弱强的关系肯定要提到XY-Wing了,下面是一个XY-Wing的例子:
    1.PNG
  • (图中三格的候选数由点算即得)
  • 通常解释XY-Wing原理的时候会用如果r4c2=1则r5c1=4;如果r4c2=9则r4c8=4,所以不论r4c2是1还是9,r5c1与r4c8中至少有一个是4,
    从而得到r5c1与r4c8的等位群格位交集部分(图中蓝色格)不含4。
  • 这样是不是有点猜测的味道呢?很多人都说高级技巧是把猜的东西合理化,其实不然。
  • 用强弱强链的观点可以这样看r5c1(4)==r5c1(1)--r4c2(1)==r4c2(9)--r4c8(9)==r4c8(4),
    也是得到r5c1与r4c8中至少有一个是4,这样的观察是不是更逻辑化呢?欢迎大家提出你的看法。

 

叶卡林娜

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  • 与XY-Wing较相近的要数XY-Chain。
  • XY-Wing由三格组成,分别为xy格,xz格,yz格。XY-Chain不止三格,需要把一些格合并当作XY-Wing组成格之一来看。(这些我们会在相应主题再讨论)
  • 下面来看一个例子:
    1.PNG
  • 这里就不用如果怎么则怎么来解释了,毕竟通过上面一些介绍,大家可以用强弱强这样的逻辑关系解释,不需要用如果怎么样的解释。
  • 以XY-Wing的观点来看的话可以将r4c2作xy格,r4c9作xz格,{r5c1, r5c2}作为yz格。
  • 以强弱链的观点来看略复杂,因为由4条强链组成,请大家以r4c9为起点依次观察交替的强链(红色)、弱链(绿色)。
  • 可以得到两端点r5c1(1)、r4c9(1)至少有一个成立,所以可删除两者交集r5c89的候选数1。

 

叶卡林娜

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有的时候我们可以把两格看作一组,例如在 双强链解法运用 中的第六题:
1.PNG
r1c4(7)==r5c4(7)--r5c2(7)=={r1c2, r2c2}(7)
得到{r1c2, r2c2}与r1c4至少有一个为7。
所以可以删除{r1c2, r2c2}与r1c4等位群格位的交集r1c3的候选数7。

叶卡林娜

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